РЕШУ ОЛИМП, математика: задания, ответы, решения

Поиск
?

в условии в решении в тексте к заданию в атрибутах
Скопировать ссылку на результаты поиска
Атрибут

Тип 0 № 3209 Добавить в вариант

Межрегиональная олимпиада школьников по математике САММАТ, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2020 год

Классификатор: Алгебра. Сравнение чисел, Алгебра: тригонометрия. Преобразования числовых выражений, Анализ. Применение производной для сравнения чисел

Верно ли равенство $синус 3 умножить на корень 3 степени из: начало аргумента: косинус 2 конец аргумента минус синус 2 корень 3 степени из: начало аргумента: косинус 3 конец аргумента меньше корень 3 степени из: начало аргумента: косинус 2 косинус 3 конец аргумента ?$

Решение.

Так как $косинус 2 умножить на косинус 3 больше 0,$ то, разделив обе части данного неравенства на его правую часть, мы можем переписать его в виде

$дробь: числитель: синус 3, знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: косинус 3 конец аргумента конец дроби минус 3 меньше дробь: числитель: синус 2, знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: косинус 2 конец аргумента конец дроби минус 2,$

или $f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка меньше f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка ,$ где

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: синус x, знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: косинус x конец аргумента конец дроби минус x,$ $левая круглая скобка x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка правая круглая скобка .$

Для удобства дифференцирования этой функции положим: $t=x минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби$ и

$f левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: косинус t, знаменатель: корень 3 степени из: начало аргумента: синус t конец аргумента конец дроби минус t минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби = минус косинус t левая круглая скобка синус t правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка минус t минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ,$ $левая круглая скобка x принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка .$

Тогда

$f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка t правая круглая скобка = синус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби синус в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка t косинус t минус 1= дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби синус в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка t плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби синус в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка t минус 1,$ $левая круглая скобка x принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка$

$f в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби синус в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка t косинус t минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби синус в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка t косинус t= дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби косинус t синус в степени левая круглая скобка минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка t левая круглая скобка синус в квадрате t минус 1 правая круглая скобка меньше 0,$ $левая круглая скобка x принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка правая круглая скобка .$

Следовательно, $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка t правая круглая скобка$   — убывающая функция и на промежутке $левая квадратная скобка 0 ; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка$ при $f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка t правая круглая скобка больше f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка =0,$ то есть $f левая круглая скобка x плюс дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка$ возрастает $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка ,$ а f(x) возрастает на $левая квадратная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

B частности, $f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка больше f левая круглая скобка 2 правая круглая скобка ,$ то есть исходное неравенство неверно.

Ответ: нет, неверно.

РешениеСпрятать решение · Помощь

Тип 0 № 3900 Добавить в вариант

Олимпиада Газпром, 11 класс, 2 тур (заключительный), 2019 год

Классификатор: Анализ. Применение производной для сравнения чисел

Для функции $y=xe в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка$ найти производную 2019-го порядка $левая круглая скобка y в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка правая круглая скобка правая круглая скобка .$

Решение.

Заметим зависимость:

$\beginaligned y в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка =e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс x e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , y в степени левая круглая скобка \prime \prime правая круглая скобка =e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , y в степени левая круглая скобка \prime \prime \prime правая круглая скобка =e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка =e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка , умножить на s y в степени левая круглая скобка левая круглая скобка n правая круглая скобка правая круглая скобка =e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс n правая круглая скобка .\endaligned$

Тогда, $y в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка правая круглая скобка =e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2019 правая круглая скобка .$

Ответ: $y в степени левая круглая скобка левая круглая скобка 2019 правая круглая скобка правая круглая скобка =e в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 2019 правая круглая скобка .$

РешениеСпрятать решение · Помощь

Всего: 2 1–2

Наверх

О проекте · Редакция · Правовая информация · О рекламе